س:موج ايستاده حاصل ازبرهم نهي موجهادريك بعدچگونه است؟

ج:

امواج منتشره درطول يك طناب يايك سيم يك بعدي هستند.وقتي دوموج درطول يك طناب به هم مي رسند(دوموج دريك صفحه)،موج ويژه اي بنام ايستاده ايجادمي كنند.برحسب اين كه انتهاي طناب بازيابسته باشد،دوحالت رابراي بررسي اين پديده مي توان درنظرگرفت.

الف-بررسي موج ايستاده وقتي دوانتهاي طناب ثابت(بسته )باشند:

درپديده برهم نهي يا تداخل درموج هم دامنه وهم بسامد،نقاطي كه دامنه موجها دريك جهت باشند،بيشترين دامنه نوسان راپيدامي كنند.به اين نقاط شكم(پادگره)گفته مي شود.امانقاطي كه دامنه موجهادرجهت خلاف هم باشند،ساكن خواهندبود.اين نقاط راگره مي نامند.وقتي دوانتهاي يك طناب كشيده اي بسته باشد،باتصال يك توليدكننده موج (مثل يك دياپازون)به طناب موجي روي طناب ايجادمي شود.اين موج ازانتهاي طناب به صورت وارونه بازتابيده مي شود.دراين حالت درروي طناب دوموج هم دامنه وهم بسامددرسوي مخالف هم درحال انتشارهستندكه باهم برهم نهي مي كنند.چون دوانتهاي طناب ثابت هستند،اين نقاط گره مي باشندوشكمهابه فاصلهl/4  ازگره هاتشكيل مي شوند.فاصله شكمهاي متوالي (ياگره هاي متوالي)ازيكديگربرابر l/2است.

پرسش4-2:

درشكل 4-33(كتاب درسي)دربخشC ،گره هاي ديگري نيزوجوددارند.اين نقطه هارامشخص كنيد.

جواب:

نقاطانتهايي طناب ونيزنقطه Bگره هستند(جمعاچهارگره)

فرض كنيددوانتهاي طنابي آزاداست ودرطول آن موج هاي ايستاده تشكيل شده است.باتوجه به اين كه درانتهاي آزادهمواره شكم تشكيل مي شود،مانندآنچه درقسمت الف ديديد،بارسم شكل،رابطه بين طول طناب وطول موج ونيزبسامدطناب رابه دست آوريد. جواب: موج ايستاده درطنابي كه دوسرآن آزاداست.درساده ترين حالت به صورت شكل مقابل خواهدبود.دربسامديك گره ودوشكم ايجادمي شود.داريم: وبراي مدهاي ديگربطوركلي خواهيم داشت : ملاحظه مي كنيداين حالت مانندحالتي است كه درآن دوانتهاي طناب بسته باشنديعني بسامداصلي آن داراي دوگره ويك شكم باشدبااين تفاوت كه اين جايك گره ودوشكم وجوددارد.

فرض كنيددوانتهاي طنابي آزاداست ودرطول آن موج هاي ايستاده تشكيل شده است.باتوجه به اين كه درانتهاي آزادهمواره شكم تشكيل مي شود،مانندآنچه درقسمت الف ديديد،بارسم شكل،رابطه بين طول طناب وطول موج ونيزبسامدطناب رابه دست آوريد. جواب: موج ايستاده درطنابي كه دوسرآن آزاداست.درساده ترين حالت به صورت شكل مقابل خواهدبود.دربسامديك گره ودوشكم ايجادمي شود.داريم: وبراي مدهاي ديگربطوركلي خواهيم داشت : ملاحظه مي كنيداين حالت مانندحالتي است كه درآن دوانتهاي طناب بسته باشنديعني بسامداصلي آن داراي دوگره ويك شكم باشدبااين تفاوت كه اين جايك گره ودوشكم وجوددارد.     ميله نازكي مانندشكل مقابل درنقطهBودريك گيره محكم شده است.اگرAB=8cm وAC=32cm باشد،كمترين بسامدي رامحاسبه كنيدكه ميله رابه نوسان درمي آوردودرطول آن،موج ايستاده تشكيل مي شود.سرعت انتشارموج درميله 4000m/s است.   جواب: كمترين بسامدوقتي است كه درقسمت AB فقط يك شكم بوجودآمده باشد.دراين صورت شكل موج ايستاده درطول ميله به صورت مقابل خواهدبود،كه درآن دوگروه وجوددارد.پسn=2 است.(حالت دوسرآزاد). نتيجه مي شود:

س:برهم نهي موج هادردوبعدچگونه است؟

ج:

هرگاه تداخل امواج دريك صفحه مثل سطح آب انجام بگيريددراين صورت برهم نهي دردوبعدخواهدبود.براي ايجادموج ايستاده مي توان ازدياپازوني كه به يكي ازشاخه هاي آن ميله كوچكي بادوسوزن وصل شده است استفاده كرد.

سوزنهارادرتماس باسطح آب يك تشت كم عمق قرارمي دهيم ودياپازون رابه ارتعاش درمي آوريم.به اين ترتيب نوك هركدام ازسوزنهامثل دومنبع موج (S₁وS₂)عمل مي كنندوچون متصل به يك شاخه دياپازون هستندنوسان آنهاكاملايكسان است.يعني دومنبع موج هم فازوهم دامنه وهم بسامدتوليدمي شود.باانداختن نوريك چراغ به سطح آب امواج ايستاده به خوبي قابل مشاهده خواهدبود.

ملاحظه ميشودكه قسمتهايي ازسطح آب داراي بيشترين جابجايي هستندكه شكم هارابه وجودمي آورندوقسمت هايي ازسطح آب كاملاساكن مي باشندوگره هاراايجادمي كنند.درمحل شكمها برهم نهي امواج دومنبع و سازنده ودرمحل گره هابرهم نهي آنهاويرانگراست.بادقت درموج ايستاده سطح آب معلوم مي شودشكم هاوگره هابرروي هذلولي هايي به مراكز S₁وS₂ قراردارند.بطورخلاصه بايدگفت درمحيطي كه تداخل امواج صورت مي گيرد،ارتعاش هرنقطه ازآن محيط،باارتعاشات دومنبع هم راستاوهم دوره است ولي دامنه وفازآن بستگي به وضعيت ان نقطه نسبت به دومنبع ارتعاش داردودامنه حركت برايندتابع  d₂-d₁يعني اختلاف فاصلههاي آن نقطه ازدومنبع ارتعاش است.

تذكر:

تداخل يابرهم نهي موج هادرهردوموج طولي وعرضي مي تواندايجادشود.چه ازنوع مكانيكي وچه ازنوع الكترومغناطيسي.

س:تداخل موج هاچگونه است وشرايط ايجادآن چيست؟

ج:

برهم نهي موج هادردو يا سه بعد را تداخل امواج مي نامندوشرايط ايجادتداخل موج ها آن است كه دوچشمه موج هم بسامدو هم فازباشند.

س:تحليل رياضي تداخل موج هاچگونه است؟

ج:

مطابق شكل مقابل دو منبع موج هم فازو هم بسامد S₁ و S₂ رادرنظرمي گيريم كه درمحيط كشسان (مثل سطح آب)بافاصله كم از يكديگر قرار دارند. نقطهM رانيز در نظرمي گيريم كه فاصله آن ازمنابعS₁وS₂ به ترتيبd₂ و d₁ است.چون دوچشمه هم فازو هم بسامد هستند،تابع آنهايكسان وبه شكل خواهدبود.اماوقتي امواج حاصل ازدومنبع به نقطهM مي رسند.به دليل برابرنبودن فاصله نقطهM ازS₁ وS₂ باهم اختلاف فاز خواهند داشت. درنقطهM فازS₁ برابر  وفاز S₂ برابر  است.دراين صورت اختلاف فازدوموج درنقطهM برابرخواهدبودبا:

دراين رابطه   اختلاف راه نقطه M ازدوچشمه موج است ووضعيت ارتعاشي نقطهM بستگي به اين اختلاف راه دارد.براي بررسي وضعيت ارتعاشي نقطه M دوحالت خاص رامي توان درنظرگرفت:

الف-اگر مضرب زوجي ازp باشد، دو موج درنقطه M هم فازبوده وبرهم نهي آنهاسازنده خواهدبوديعني نقطه M يك شكم است.داريم:

يا

بنابراين نقاطي كه اختلاف فاصله آنهابامنابع موج مضرب صحيحي ازl (يا مضرب زوجي از l/2 )باشد،شكم هاراتشكيل مي دهند.

ب-اگر مضرب فردي ازp باشد،دوموج درنقطه M درفازمخالف بوده وبرهم نهي آنهاويرانگرخواهدبوديعني نقطهM  يك گره است.داريم:

يا

بنابراين نقاطي كه اختلاف فاصله آنهابامنابع موج مضرب فردي ازl/2  باشد،گره هايانقاط ساكن راتشكيل ميدهند.

  n+1=تعدادگرهها

2-اگردرابطه    مقدار  قراردهيم، خواهيم داشت:

3-ازرابطه  معلوم مي شودبراي تغييربسامد موج ايستاده (n)بايدطول طناب (L)ونيروي كشش(F)آنراتغييردارد.كاري كه درسازهاي زهي انجام مي شود.

مثال2:

يكي ازسيم هاي پيانويي داراي طول60cm وجرم10گرم است.اگربسامدصورت اصلي آن 50Hz باشد،نيروي كشش سيم چقدراست؟

جواب:

براي صوت يامداصلي n=1 است.نتيجه مي شود:

==> F=60 N

ب-بررسي موج ايستاده وقتي يك انتهاي طناب آزادباشد.

دراين حالت درساده ترين وضعيت درانتهاي بازيك شكم ودرانتهاي بسته يك گره ايجادمي شود.باتوجه به شكل مقابل خواهيم داشت:

L=l/4

وازآنجا نتيجه مي شود:

اين بسامد موج اصلي است وبراي سايرهماهنگها يامدهاخواهيم داشت:

يعني دراين حالت طول طناب مضرب فردي از  است.

وازآنجا:

به ازاي n=1 بسامداصلي وبه ازاي n=2,3,....مدهاي سوم وپنجم و...بسامداصلي به دست مي آيند.

تذكر:

درحالتي كه يك سرطناب بسته وسرديگرآن آزاداست،موج ايستاده تشكيل شده ودرطول آن 6گره به وجودآمده است.اگرفاصله اولين گره ازدومين شكم بعدازآن  باشد:

  تعدادگره ها=تعدادشكم ها=n

 2n-1=شماره مدياهماهنگ

مثال:

در طنابي که يک سر آن بسته و سر ديگر آن آزاد است ، موج ايستاده تشکيل شده و در طول آن 6 گره بوجود آمده است .اگر فاصله اولين گره از دومين شکم بعد از ان 21Cm باشد :

الف)شماره مدوطول طناب رابه دست آوريد.

ب)اگربسامد نوسانهابرابر200Hz باشد،سرعت انتشارموج درطناب چقدراست؟

جواب:

الف)فاصله بين يك گره ودومين شكم متوالي برابر است.نتيجه مي شود:

دراين حالتn برابرتعدادگره ها(ياتعدادشكم ها)است.داريم:

منبع : كانون دانش